Teoría y simulación de caminatas aleatorias para procesos de difusión - Betancourt Sotomayor, Francisco Javier (2017)
Cuando se trabaja con procesos fuera de equilibrio, desde el punto de vista probabilístico, es usual comenzar con un proceso aleatorio discreto conocido como caminata aleatoria, luego, de ahí, obtener la ecuación de difusión. Una característica de la difusión es el desplazamiento cuadrático medio (msd) el cual es proporcional al tiempo y es de la forma t α . Uno de los problemas de la difusión es establecer de qué manera crece el msd en el tiempo, esto es, qué valor tiene α. Si α = 1 se conoce como difusión normal, si α > 1 superdifusión y si 0 < α < 1 subdifusión. En este trabajo se presenta una síntesis de la teoría ya conocida para la construcción y solución de la ecuación de una caminata aleatoria (RW), que es un proceso discreto en el tiempo, y que aproxima el proceso de difusión. A partir de esta ecuación se obtiene y resuelve la ecuación de difusión. La solución de la ecuación de difusión presenta una tasa de propagación infinita, esto es, da lugar a desplazamientos instantáneos (aunque con poca probabilidad). Un proceso discreto llamado caminata aleatoria con persistencia (PRW) que en su versión continua da lugar a la ecuación del telegrafista tiene como característica un frente de propagación finito, se recapitula la obtención de esta ecuación y su solución. Así mismo, se revisa la caminata aleatoria de Weierstrass (WRW) la cual es discreta en el tiempo, y que dependidendo de los valores de sus parámetros describe un proceso de superdifusión. De igual modo, utilizando los casos típicos en la literatura del tema, se muestra cómo obtener los tres tipos de difusión mediante una versión general (un proceso continuo en el tiempo) de la caminata aleatoria conocida como caminata aleatoria en tiempo continuo (CTRW). Así, mediante un proceso continuo en el tiempo (CTRW) se obtienen los tres tipos de difusión y mediante procesos discretos (RW y WRW) se obtiene la difusión normal y la superdifusión respectivamente. Existe una manera indirecta de obtener un proceso de subdifusión utilizando un proceso discreto, conocido como caminata aleatoria balística (BRW), se menciona de manera breve en qué consiste y queda abierta la cuestión acerca de si existe la posibilidad de obtener una ecuación general para procesos discretos equivalente a la caminata aleatoria en tiempo continuo.